11 класс. 11.1). Пусть d-разность данной прогрессии, тогда домножением на сопряженное получим, что: d aa d aa d aa aaaaaa S nn nn − − ++ − − + − − = + ++ + + + = − − 13221 13221 111 ...... = 1 1 111 111111 + − ≤ +−+ − = −−+ = − = − − n n nd n d nd d aa d aa...
More
11 класс. 11.1). Пусть d-разность данной прогрессии, тогда домножением на сопряженное получим, что: d aa d aa d aa aaaaaa S nn nn − − ++ − − + − − = + ++ + + + = − − 13221 13221 111 ...... = 1 1 111 111111 + − ≤ +−+ − = −−+ = − = − − n n nd n d nd d aa d aa nn )( )( , т.к. 1≥d ,что и требовалось доказать. Равенство достигается когда d=1, т.е. при прогрессии 1,2,…,n. 11.2). Как следует из алгоритма Евклида НОД(m,n) делит числа m-n=8a, 3m11n=-8b. Следовательно в силу того что любой общий делитель двух чисел делит наибольший общий делитель этих двух чисел, получаем, что НОД(m,n) делит НОД(8a,8b)=8d. Теперь осталось заметить, что каждое из чисел, а следовательно и их наибольший общий делитель, делятся на 2d. Действительно если считать, что a=dk ,b=dl ,(где k и l – целые числа) то получим, что m=d(11k+l), n=d(3k+l), но в силу нечетности чисел a и b нечетными являются также и числа k,l поэтому суммы 11k+l и 3k+l будут четными, откуда и получаем, что m,n делятся на 2d. Итак, мы получили что d
Less
