11 класс. 1). Пусть n a a a ,..., , 2 1 арифметическая прогрессия с положительной целой разностью, причем 1 1 = a . Тогда 1 1 1 1 1 1 3 2 2 1 + − ≤ + + + + + + − n n a a a a a a n n ... . Когда достигается равенство? 2). Пусть m=11a+b,n=3a+b, где a и b...
More
11 класс. 1). Пусть n a a a ,..., , 2 1 арифметическая прогрессия с положительной целой разностью, причем 1 1 = a . Тогда 1 1 1 1 1 1 3 2 2 1 + − ≤ + + + + + + − n n a a a a a a n n ... . Когда достигается равенство? 2). Пусть m=11a+b,n=3a+b, где a и b –целые нечетные числа. Докажите, что если d-наибольший общий делитель чисел a и b, то наибольшим делителем чисел m и n может быть только одно из чисел 2d,4d,8d. 3). AC- диаметр окружности, AB- касательная к этой окружности. BC пересекает эту окружность в точке D. AC=1, AB=a, CD=b . Докажите, что 2 2 1 2 1 1 a a b a < < + . 4). Известно, что уравнение 0 4 5 = + + c bx ax имеет три разных действительных корня. Докажите, что уравнение 0 4 5 = + + a bx cx имеет три разных действительных корня. 5). Пусть ℵ={0,1,2,3,…} и ℵ → ℵ : f - взаимно однозначное отображение множества неотрицательных целых чисел на себя. Докажите, что существуют неотрицательные целые числа a,b,c такие, что: 1). a<b<c. 2). Числа f(a),f(b),f(c) образуют арифметическую прог
Less
