11 класс. 1). Тот факт, что числа a и b дают одинаковые остатки при делении на число c будем обозначать в виде ) (modc b a ≡ . Итак, т.к. ) 1 501 4 ( ... ) 1 2 4 ( ) 1 1 4 ( − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ = N , то число N дает в остатке –1,т.е 3 при делении на 4,...
More
11 класс. 1). Тот факт, что числа a и b дают одинаковые остатки при делении на число c будем обозначать в виде ) (modc b a ≡ . Итак, т.к. ) 1 501 4 ( ... ) 1 2 4 ( ) 1 1 4 ( − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ = N , то число N дает в остатке –1,т.е 3 при делении на 4, поэтому можем записать ) 4 (mod 3 ≡ N . Далее, заметим, что квадрат целого числа может давать в остатке лишь 0 и 1 при делении на 4 (Действительно ) 4 (mod 0 ) 4 (mod 0 2 ≡ ⇒ ≡ k k , ) 4 (mod 1 ) 4 (mod 1 2 ≡ ⇒ ≡ k k , ) 4 (mod 0 ) 4 (mod 2 2 ≡ ⇒ ≡ k k , ) 4 (mod 1 ) 4 (mod 3 2 ≡ ⇒ ≡ k k ). Поэтому в силу сделанного замечания число N не может быть полным квадратом, поэтому все его делители мы можем разбить на паре типа ) ; ( d N d , причем т.к. N- нечетное число, то либо ) 4 (mod 1 ≡ d , либо ) 4 (mod 3 ≡ d . Но в первом случае получаем, что ) 4 (mod 3 ≡ d N (т.к. ) 4 (mod 3 ≡ N ), а во втором случае ) 4 (mod 1 ≡ d N . Итак в обоих случаях легко видеть, что сумма чисел в паре ) ; ( d N d ) 4 (mod 0 ≡ + d N d . Поэтому разбив все делители ч
Less
