IIІ етап Всероссийской математической олимпиады с решениями г.Москва

XXXVIII Всероссийская математическая олимпиада школьников 9 класс Первый день 9.1. На доске написаны несколько чисел. Известно, что квадрат любого записанного числа больше произведения любых двух других записанных чисел. Какое наибольшее количество чисел... More

XXXVIII Всероссийская математическая олимпиада школьников 9 класс Первый день 9.1. На доске написаны несколько чисел. Известно, что квадрат любого записанного числа больше произведения любых двух других записанных чисел. Какое наибольшее количество чисел может быть на доске? 9.2. Окружности ω1 и ω2 касаются внешним образом в точке P. Через центр ω1 проведена прямая ℓ1, касающаяся ω2. Аналогично, прямая ℓ2 касается ω1 и проходит через центр ω2. Оказалось, что прямые ℓ1 и ℓ2 непараллельны. Докажите, что точка P лежит на биссектрисе одного из углов, образованных ℓ1 и ℓ2. 9.3. За круглым столом сидят 30 человек рыцари и лжецы (рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут). Известно, что у каждого из них ровно один друг, причем у рыцаря этот друг лжец, а у лжеца этот друг рыцарь (дружба всегда взаимна). На вопрос Сидит ли рядом с вами ваш друг? сидевшие через одного ответили да . Сколько из остальных могли также ответить да ? (Перечислите все варианты и докажите, что других нет.) 9.4. Less