XXXVII Всероссийская математическая олимпиада школьников
9 класс
Первый день
9.1. Про три положительных числа известно, что если выбрать
одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного...
More
XXXVII Всероссийская математическая олимпиада школьников
9 класс
Первый день
9.1. Про три положительных числа известно, что если выбрать
одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного числа. Верно ли, что все числа равны?
9.2. Дан равнобедренный треугольник ABC (AB = AC). На
меньшей дуге AB описанной около него окружности взята
точка D. На продолжении отрезка AD за точку D выбрана
точка E так, что точки A и E лежат в одной полуплоскости относительно BC. Описанная окружность треугольника BDE пересекает сторону AB в точке F. Докажите, что
прямые EF и BC параллельны.
9.3. Через центры некоторых клеток шахматной доски 8×8 проведена замкнутая несамопересекающаяся ломаная. Каждое
звено ломаной соединяет центры соседних по горизонтали,
вертикали или диагонали клеток. Докажите, что в ограниченном ею многоугольнике общая площадь чёрных частей
равна общей площади белых частей.
9.4. Даны положительные числа x, y, z. Докажите н
Less