IIІ етап Всероссийской математической олимпиады с решениями г.Москва

XXXVI Всероссийская математическая олимпиада школьников 9 класс Первый день 9.1. Даны квадратные трёхчлены f1(x) = x2+2a1x+b1, f2(x) = = x2 + 2a2x + b2, f3(x) = x2 + 2a3x + b3. Известно, что a1a2a3 = b1b2b3 > 1. Докажите, что хотя бы один из этих трёхчленов... More

XXXVI Всероссийская математическая олимпиада школьников 9 класс Первый день 9.1. Даны квадратные трёхчлены f1(x) = x2+2a1x+b1, f2(x) = = x2 + 2a2x + b2, f3(x) = x2 + 2a3x + b3. Известно, что a1a2a3 = b1b2b3 > 1. Докажите, что хотя бы один из этих трёхчленов имеет два корня. 9.2. Семь лыжников с номерами 1, 2, . . ., 7 ушли со старта по очереди и прошли дистанцию каждый со своей постоянной скоростью. Оказалось, что каждый лыжник ровно дважды участвовал в обгонах. (В каждом обгоне участвуют ровно два лыжника тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.) По окончании забега должен быть составлен протокол, состоящий из номеров лыжников в порядке финиширования. Докажите, что в забеге с описанными свойствами может получиться не более двух различных протоколов. 9.3. Можно ли при каком-то натуральном k разбить все натуральные числа от 1 до k на две группы и выписать числа в каждой группе подряд в некотором порядке так, чтобы получились два одинаковых числа? 9.4. В треугольнике ABC угол A равен 60◦ Less