IV етап Всероссийской математической олимпиады

XXXV Всероссийская математическая олимпиада школьников 9 класс Первый день 9.1. Знаменатели двух несократимых дробей равны 600 и 700. Найдите наименьшее возможное значение знаменателя их суммы (в несократимой записи). 9.2. В треугольнике ABC проведена... More

XXXV Всероссийская математическая олимпиада школьников 9 класс Первый день 9.1. Знаменатели двух несократимых дробей равны 600 и 700. Найдите наименьшее возможное значение знаменателя их суммы (в несократимой записи). 9.2. В треугольнике ABC проведена биссектриса BD (точка D лежит на отрезке AC). Прямая BD пересекает окружность Ω, описанную около треугольника ABC, в точках B и E. Окружность ω, построенная на отрезке DE как на диаметре, пересекает окружность Ω в точках E и F. Докажите, что прямая, симметричная прямой BF относительно прямой BD, содержит медиану треугольника ABC. 9.3. Дано натуральное n > 1. Число a > n2 таково, что среди чисел a + 1, a + 2, . . . , a + n есть кратные каждого из чисел n2 + 1, n2 + 2, . . . , n2 + n. Докажите, что a > n4 − n3. 9.4. По кругу стоят 100 наперстков. Под одним из них спрятана монетка. За один ход разрешается перевернуть четыре наперстка и проверить, лежит ли под одним из них монетка. После этого их возвращают в исходное положение, а монетка пер Less