Десятая олимпиада по геометрии им. И.Ф.Шарыгина
Заочный тур. Решения
1. (Н.Москвитин, В.Протасов) (8) Дан прямоугольный треугольник ABC. На катете
AB во внешнюю сторону построен равносторонний треугольник ADB, а на гипотенузе AC во внутреннюю сторону –...
More
Десятая олимпиада по геометрии им. И.Ф.Шарыгина
Заочный тур. Решения
1. (Н.Москвитин, В.Протасов) (8) Дан прямоугольный треугольник ABC. На катете
AB во внешнюю сторону построен равносторонний треугольник ADB, а на гипотенузе AC во внутреннюю сторону – равносторонний треугольник AEC. Прямые DE
и AB пересекаются в точке M. Весь чертеж стерли, оставив только точки A и B.
Восстановите точку M.
Решение. Так как ∠DAB = ∠EAC = 60◦
, то ∠DAE = ∠BAC, следовательно
треугольники ADE и ABC равны и ∠ADE = 90◦
. Поэтому треугольник ADM —
прямоугольный с углом A = 60◦
. Значит, AD = AB = AM/2 (рис.1), т.е. точка M
симметрична A относительно B.
A
B
C
E
D
M
Рис.1
2. (К.Кноп) (8) Есть бумажный квадрат со стороной 2. Можно ли вырезать из него
12-угольник, у которого длины всех сторон равны 1, а все углы кратны 45◦
?
Решение. Да, см. рис.2. Точки A, B, C, D лежат на средних линиях данного квадрата и образуют квадрат со стороной
√
2 − 1.
A
B
C
D
Рис.2
3. (Н.Москвитин) (8) Вокруг равнобедренного треугольни
Less
