IIІ етап Всероссийской математической олимпиады с решениями г.Москва

XXXV Всероссийская математическая олимпиада школьников 9 класс Первый день 9.1. Гриб называется плохим, если в нем не менее 10 червей. В лукошке 90 плохих и 10 хороших грибов. Могут ли все грибы стать хорошими после того, как некоторые черви переползут из... More

XXXV Всероссийская математическая олимпиада школьников 9 класс Первый день 9.1. Гриб называется плохим, если в нем не менее 10 червей. В лукошке 90 плохих и 10 хороших грибов. Могут ли все грибы стать хорошими после того, как некоторые черви переползут из плохих грибов в хорошие? 9.2. Рациональные числа a и b удовлетворяют равенству a3b + ab3 + 2a2b2 + 2a + 2b + 1 = 0. Докажите, что число 1−ab является квадратом рационального числа. 9.3. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1, CC1. Прямая, перпендикулярная стороне AC и проходящая через точку A1, пересекает прямую B1C1 в точке D. Докажите, что угол ADC прямой. 9.4. На рисунке показан треугольник, разбитый на 25 меньших треугольников, занумерованных числами от 1 до 25. Можно ли эти же числа расставить в клетках квадрата 5 × 5 так, чтобы любые два числа, записанные в соседних треугольниках, были записаны и в соседних клетках квадрата? (Треугольники, так же, как и клетки квадрата, считаются соседними, если имеют общую с Less