Девятая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина
Финальный тур, Ратмино, 2013 г.
Решения задач
8 класс. Первый день
8.1. (Н. Москвитин) В пятиугольнике ABCDE углы ABC и AED — прямые, AB = AE
и BC = CD = DE. Диагонали BD и CE пересекаются в...
More
Девятая всероссийская олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина
Финальный тур, Ратмино, 2013 г.
Решения задач
8 класс. Первый день
8.1. (Н. Москвитин) В пятиугольнике ABCDE углы ABC и AED — прямые, AB = AE
и BC = CD = DE. Диагонали BD и CE пересекаются в точке F. Докажите, что FA = AB.
Решение. Первый способ. Из условия задачи следует, что прямоугольные треугольники ABC и AED равны, то есть треугольник ACD — равнобедренный (см. рис. 8.1а).
Тогда ∠BCD = ∠BCA + ∠ACD = ∠EDA + ∠ADC = ∠CDE. Следовательно, равнобедренные
треугольники BCD и CDE равны. Таким образом, ∠CBD = ∠CDB = ∠ECD = ∠DEC.
Из того, что треугольник CFD — равнобедренный, и из равенства отрезков BD и
CE получим, что BF = FE. Следовательно, ABF = AEF. Тогда ∠AFB =
∠BFE
2
=
=
180◦
− 2∠FCD
2
= 90◦
− ∠ECD = 90◦
− ∠DBC = ∠ABF, откуда AB = AF, что и требовалось.
AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
Less
