IV етап Всероссийской математической олимпиады с решениями

XXXVII Всероссийская математическая олимпиада школьников 9 класс Первый день 9.1. Квадратный трёхчлен P(x) с единичным старшим коэффициентом таков, что многочлены P(x) и P(P(P(x))) имеют общий корень. Докажите, что P(0) · P(1) = 0. 9.2. Дан остроугольный... More

XXXVII Всероссийская математическая олимпиада школьников 9 класс Первый день 9.1. Квадратный трёхчлен P(x) с единичным старшим коэффициентом таков, что многочлены P(x) и P(P(P(x))) имеют общий корень. Докажите, что P(0) · P(1) = 0. 9.2. Дан остроугольный треугольник ABC. Окружность, проходящая через вершину B и центр O его описанной окружности, вторично пересекает стороны BC и BA в точках P и Q соответственно. Докажите, что точка пересечения высот треугольника POQ лежит на прямой AC. 9.3. На доске нарисован выпуклый 2011-угольник. Петя последовательно проводит в нём диагонали так, чтобы каждая вновь проведённая диагональ пересекала по внутренним точкам не более одной из проведённых ранее диагоналей. Какое наибольшее количество диагоналей может провести Петя? 9.4. Существуют ли три взаимно простых в совокупности натуральных числа, квадрат каждого из которых делится на сумму двух оставшихся? XXXVII Всероссийская математическая олимпиада школьников 9 класс Первый день 9.1. Квадратный трёх Less