10 клас Рівень А (високий) 1. Усі чотирицифрові числа від 1000 до 2014 виписуються послідовно в рядок через коми, потім коми стираються. Знайдіть остачу від ділення отриманого числа 1000 1001 … 2013 2014 на 11. Розв’язання. Позначимо n A A A , , , 2 1 ...
More
10 клас Рівень А (високий) 1. Усі чотирицифрові числа від 1000 до 2014 виписуються послідовно в рядок через коми, потім коми стираються. Знайдіть остачу від ділення отриманого числа 1000 1001 … 2013 2014 на 11. Розв’язання. Позначимо n A A A , , , 2 1 число, отримане “склеюванням” натуральних чисел n A А A , , , 2 1 , записаних у десятковій формі; це склеювання проводиться так: до десяткового запису числа 1 A приписуються послідовно праворуч цифри числа 2 A , потім 3 A і т.д. Якщо кожне число, що склеюється, містить парне число десяткових цифр, то остача від ділення на 11 склеєного числа збігається з остачею ділення на 11 суми цих чисел. Т.к. , , , , , , , , , 1 2 1 1 2 1 n n n n A A A A A A A A − − = тоді досить довести це для двох чисел (2n – число знаків у записі А2): . 99 99 ) 1 99 99 ( 10 , 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 A A A A A A A A A девяток n девяток n n + + ⋅ = + + ⋅ = + ⋅ = 99… 99А1 ділиться на 11 без остачі, тому 2 1, A A і 2 1 A A + дають рівні лишки
Less
