11 клас Рівень А (високий) 1. Розв'яжіть систему рівнянь =++ =++ .132 ,132 444 666 zyx zyx Розв’язання. З рівнянь випливає, що |x|≤ 1. Якщо |x|=1, то y=z=0. Нехай |x|<1. Оскільки |y|<1 і |z|<1, тоді 1=x4 +2y4 +3z4 >x6 +2y6 +3z6 =1. Ми одержали...
More
11 клас Рівень А (високий) 1. Розв'яжіть систему рівнянь =++ =++ .132 ,132 444 666 zyx zyx Розв’язання. З рівнянь випливає, що |x|≤ 1. Якщо |x|=1, то y=z=0. Нехай |x|<1. Оскільки |y|<1 і |z|<1, тоді 1=x4 +2y4 +3z4 >x6 +2y6 +3z6 =1. Ми одержали протиріччя. Отже, x=1, y=0, z=0; x=-1, y=0, z=0 - усі розв'язки системи. 2. На площині проведено 2014 прямих загального положення (тобто будь-які дві з них не паралельні, будь-які три не мають спільної точки). Доведіть, що серед утворених ними кутів знайдуться 11, сума величин яких менше 1 градуса. Розв’язання. За допомогою паралельних перенесень перетворимо сімейство даних прямих у пучок прямих, що проходять через ту саму точку А. 4028 променів цих прямих з вершинами в А перенумеруємо в порядку їх проходження за годинниковою стрілкою, прийнявши довільний з них за 0l , а інші – 1l , 2l ,…, 4027l . Потім вилучимо всі промені з номерами, не кратними 11. 367 променів, що залишилися (4028=11·366+5=4026+2) поділяють усю площину на 367 секторі
Less