8 клас Рівень А (високий) 1. Знайдіть такі цілі числа x, y, z, що задовольняють рівності: 2015))()(( =+++ xzzyyx . Розв’язання. Якби такі три числа x, y та z існували, принаймні два з них мали би однакову парність. Припустимо, це пара чисел x та y. Тоді...
More
8 клас Рівень А (високий) 1. Знайдіть такі цілі числа x, y, z, що задовольняють рівності: 2015))()(( =+++ xzzyyx . Розв’язання. Якби такі три числа x, y та z існували, принаймні два з них мали би однакову парність. Припустимо, це пара чисел x та y. Тоді сума x y+ — парна, а отже парним мав би бути й добуток ))()(( xzzyyx +++ . Число ж 2015, якому цей добуток повинен дорівнювати, — непарне. Одержана суперечність показує, що цілих чисел, які задовольняють умову, не існує. Відповідь: таких чисел не існує. 2. Усі точки площини пофарбовано в 4 кольори (одна точка в один колір), причому кожний колір використовується. Чи обов'язково знайдеться пряма, яка містить точки принаймні трьох різних кольорів? Розв’язання. Так. Доведемо це. Припустимо супротивне. Розглянемо тепер чотири точки різних кольорів : A, B, C, D. Розглянемо випадок, коли AB не паралельна CD. Тоді нехай точка X – перетин цих прямих. Але тоді ця точка має колір або A або B. Припустимо X має колір точки A. Але тоді три різних кол
Less
