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5 Morphismes de groupes
Définitions : Si (G, ) et (G’, ∧) sont deux groupes, une application f de G dans G’ est un morphisme de
groupes de G dans G’ ssi ∀ (x, y) ∈ G×G, f(x y) = f(x) ∧f(y).
f est un isomorphisme ssi f est un morphisme bijectif;
f est un...
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1.
5 Morphismes de groupes
Définitions : Si (G, ) et (G’, ∧) sont deux groupes, une application f de G dans G’ est un morphisme de
groupes de G dans G’ ssi ∀ (x, y) ∈ G×G, f(x y) = f(x) ∧f(y).
f est un isomorphisme ssi f est un morphisme bijectif;
f est un endomorphisme de G ssi f est un morphisme de G dans lui-même;
f est un automorphisme de G ssi f est à la fois un isomorphisme et un endomorphisme.
Exercice 12
1°/ L’ensemble des automorphismes d’un groupe G est un groupe pour la composition des applications, noté
Aut(G).
2°/ Pour a ∈ G donné, l’application fa : x axa–1
de G dans G est un automorphisme de G appelé
automorphisme intérieur de G.
L’ensemble Int(G) des automorphismes intérieurs de G est un sous-groupe de
Aut(G).
L’application de G dans Int(G) qui à a associe fa est un morphisme de groupes dont le noyau est
Z(G) = {x ∈ G / ax = xa} (appelé centre de G : voir l’exercice 19).
Exercice 13
Montrer que z/4z n’est pas isomorphe à z2z×z2z.
Exercice 14
Le groupe Aut(z/nz) (
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