Activité Tableaux de Signes - Equations
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Module : Signe de ax+b.
Tableau de signes.
Inéquations.
I.
On cherche le signe de A(x)=2x-4.
Trouver le signe de A(x), c’est trouver les valeurs de x telles que A(x)0 et
celles telles que A(x)0.
1.
Résoudre l’équation...
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Module : Signe de ax+b.
Tableau de signes.
Inéquations.
I.
On cherche le signe de A(x)=2x-4.
Trouver le signe de A(x), c’est trouver les valeurs de x telles que A(x)0 et
celles telles que A(x)0.
1.
Résoudre l’équation : A(x)=0, puis les inéquations A(x)0 et A(x)0.
Sur une
même droite graduée, représenter l’ensemble des solutions de chaque
inéquation.
2.
Quel est le signe de A(x) lorsque x2 ? lorsque x2 ? Mettre en évidence ces
deux résultats sur la droite graduée précédente à l’aide des symboles et ―.
3.
Compléter alors le tableau suivant :
x 2
A(x) 0
Ce tableau est le tableau de signes de l’expression A(x)=3x-2.
II.
Généralisation.
Soit a et b deux réels, avec a non nul.
On veut déterminer le signe de f(x)=ax+b.
1.
Résoudre l’équation ax+b=0, puis les inéquations f(x)0 et f(x)0.
Sur une
même droite graduée, représenter l’ensemble des solutions de chaque
inéquation.
2.
Quel est le signe de f(x) lorsque x-b/a ? lorsque x-b/a ? Mettre en
évidence ces deux résultats sur la droite graduée précédente à l’aide des
symboles et ―.
3.
Dresser alors le tableau de signes de l’expression f(x)=ax+b.
4.
Conclure : ax+b est du signe de … sur l’intervalle…………….
(« à ………… de –b/a »).
III.
Exemples.
Dans les trois cas suivants, chercher la valeur pour laquelle l’expression s’annule,
puis dresser son tableau de signe :
B(x)=4x+12 C(x)=5-3x D(x)=-x-3
IV.
Règle des signes.
Pour trouver le signe d’un produit AB ou d’un quotient
A
B
(B0), il suffit de
connaître le signe de A et celui de B, puis d’appliquer la règle des signes.
Dans quels cas le produit AB ou le quotient
A
B
est-il positif ? négatif ? nul ?
V.
Inéquations « produits ».
On veut résoudre l’inéquation (4-3x)(5x+2) 0.
On pose E(x)=(4-3x)(5x+2).
On cherche à savoir dans quels cas a-t-on E(x)0.
Autre méthode : après avoir
étudié le signe de 4-3x puis celui de 5x+2, compléter le tableau suivant.
x
4-3x
5x+2
E(x)
3.
En suivant la méthode précédente, résoudre les inéquations suivantes :
a) (2x+1)(-5x+2)0 b) (7-3x)(x+4)0
c)
3x
4
5+
x
3
0 d)
–x2
3
-x5
6
0
e) x²+3x0 f) (2x+3)²-40
g) x(x+2) – 5(x+2)0 h) (x-2)²(2x+3)²
i) (x-4)(2x+1)(-3x+5)0
VI.
Inéquations « quotients »
On veut cette fois résoudre l’inéquation :
8-2x
x+5
0.
On pose Q(x)=
8-2x
x+5
.
1.
Préciser la valeur de x interdite.
Justifier.
2.
Après avoir étudié le signe de 8-2x et celui de x+5, donner le tableau de
signes de Q(x).
3.
Résoudre l’inéquation Q(x)0.
4.
En suivant la même méthode, résoudre les inéquations suivantes :
a)
2+5x
x-1
0 b)
3x+7
3x+5
0
c)
5x-11
5x-2
0 d)
4x+8
12x-8
0
e)
4
x+1
+ 3 0 f)
5
2-6x
1
g)
4x+1
6-x
-1 h)
x²+1
x²-4
0
i)
x+3
3x-5
3x-5
x+3
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