Devoir à la Maison

DEVOIR DE MATHEMATIQUES N°. . . A rendre pour le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La qualité de la rédaction et de la présentation interviendra dans la notation. I) Démonstration du théorème de Pythagore : Soit ABC un triangle rectangle en A ; ABED, ACFG et BCJH sont les carrés extérieurs à ABC ; soit (AL) la droite passant par A, perpendiculaire à (BC) et telle que L appartient à [BC] ; on considère enfin K comme le point d’intersection entre (AL) et (HJ). 1) Faire une figure. 2) On va démontrer que l’aire du carré ABED est égale à l’aire du rectangle BHKL. a) Pourquoi est-on sûr que les droites (DC) et (EB) sont parallèles ? Justifier que les triangles BED et BEC ont même aire. b) Comparer les angles EBC et ABH. En déduire que les triangles BEC et ABH ont même aire. c) En remarquant que l’aire de ABED est le double de l’aire du triangle BED, conclure pour les aires du carré ABED et du rectangle BHKL. 3) Recommencer le raisonnement pour le carré ACGF et le rectangle CJKL. 4) Conclure. II) O est un point du segment [AB] tel que AB = 8 cm. On pose AO = x avec le cm pour unité. On construit d’un même côté par rapport à (AB) le triangle ACO isocèle rectangle en C et le carré OBDE. On note H le projeté orthogonal de c sur [AO]. 1) Faire une figure. 2) a) Démontrer que CH = x 2 . b) Calculer en fonction de x l’aire du triangle ACH et celle du carré OBDE. c) Démontrer que l’aire du trapèze HCEO est égale à 2 x− x2 8 . 3) Déduisez des résultats précédents que l’aire du pentagone ACEDB est égale à  x−72 −15. 4) a) Justifier l’affirmation suivante : « L’aire du pentagone ACEDB est supérieure ou égale à 15 ». b) Pour quelle valeur de x cette aire est-elle minimale ?