Interrogation écrite I) Définition : fonction croissante sur un intervalle I II) Citer les propriétés de la courbe représentative de la fonction f(x) = x², ainsi que son tableau de variations. III) f est la...   [More]

Interrogation écrite
I) Définition : fonction croissante sur un intervalle I
II) Citer les propriétés de la courbe représentative de la fonction f(x) = x², ainsi que son tableau de variations.

III) f est la fonction définie sur [-5 ; 5] par f(x) = (x – 3) (-3 x - 4)
1) Dresser le tableau de signes de f sur [-5 ; 5]
2) Pour quelles valeurs de x la fonction est-elle négative ?
3) Résoudre l équation (x – 3) (3 x + 4) > 0
4) En quels points la courbe représentative de la fonction coupe-t-elle l axe des abscisses ?
IV) 1) Quelles sont les solutions de l équation x² = 5 ?
2) Quelles sont les solutions de l inéquation x²  5 ? On pourra
s aider de la courbe représentative de la fonction x² ci-contre
3) Pour quelles valeurs de x a-t-on 1 < x² < 4 ?
x
f(x)
x
1
15
16
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4-1
  [Less]

Devoir surveillé n°…. . Conseils :  Faire les tracés graphiques proprement, la notation en tiendra compte  De très nombreuses questions sont indépendantes  Vérifier la cohérence entre les...   [More]

Devoir surveillé n°….
.

Conseils :
 Faire les tracés graphiques proprement, la notation en tiendra compte
 De très nombreuses questions sont indépendantes
 Vérifier la cohérence entre les différentes questions (par exemple entre le
tableau de signes et la courbe, entre les réponses du 4)b) et du 4)f))
Exercice 1
Un sous-marin, situé à une profondeur de 1 680 m, tire un missile.
La fonction h(x)
donne l altitude atteinte (en m) par le missile, en fonction de la distance horizontale
parcourue (en m) : h(x) = -5.
10-6
x² + 0,25 x – 1 680.
Note : -5.
10-6
= -0,000 005.

Quand l altitude est négative, c est que le missile se trouve sous le niveau de l eau.

On désire connaître le trajet du missile, pour x compris entre 0 et 50 000 m.

1) Donner un tableau de valeurs de la fonction avec un pas de 5 000 m 1
2) Tracer la courbe représentative de la fonction.
On prendra comme unités
graphiques 1 cm pour 5 000 m suivant x, et 1 cm pour 250 m suivant y.

2,5
3) Le missile survole une tente située à une distance horizontale de
16 000 m.
A quelle altitude se trouve-t-il alors ? 1
4) On désire connaître le trajet du missile au-dessus du niveau de l eau :
a) Tracer ce trajet par un trait bleu sur le graphique 1
b) Déterminer graphiquement les valeurs de la distance horizontale pour
lesquelles le missile est strictement au-dessus du niveau de l eau.
Donner
une valeur estimée des solutions sous forme d intervalle
1
1
c) Quelle inéquation faut-il résoudre si on veut connaître les valeurs de la
distance horizontale pour lesquelles le missile est strictement au-dessus du
niveau de l eau ?
1
d) Montrer que pour toutes les valeurs de x :
h(x) = -5.
10-6
(x – 8 000) (x – 42 000)
2
e) Déterminer le tableau de signes de la fonction h, pour x[0 ; 50 000] 2
f) En déduire la solution exacte de l inéquation du c) 1,5
Exercice 2
f est la fonction définie par f (x) =
1
x
sur ]0, +[
1) Donner le tableau de variations de f sur ]0, +[ 1
2) Comparer en justifiant correctement vos résultats f(3,125) et f(3,115).

Attention ! Il ne s agit pas ici de donner des valeurs approchées !
2
Exercice 3
1) Déterminer l ensemble des valeurs de x telles que |x + 3| = 2 1,5
2) Déterminer l ensemble des valeurs de x telles que |x - 5|  7 1,5
3) Existe-t-il des valeurs de x répondant aux deux conditions ci-dessus ? 1
Devoir surveillé n°
Conseils :
 Faire les tracés graphiques proprement, la notation en tiendra compte
 De très nombreuses questions sont indépendantes
 Vérifier la cohérence entre les différentes questions (par exemple entre le
tableau de signes et la courbe, entre les réponses du 4)b) et du 4)f))
Exercice 1
Un sous-marin, situé à une profondeur de 2 280 m, tire un missile.
La fonction h(x)
donne l altitude atteinte (en m) par le missile, en fonction de la distance horizontale
parcourue (en m) : h(x) = -5.
10-6
x² + 0,25 x – 2 280.
Note : -5.
10-6
= -0,000 005.

Quand l altitude est négative, c est que le missile se trouve sous le niveau de l eau.

On désire connaître le trajet du missile, pour x compris entre 0 et 50 000 m.

1) Donner un tableau de valeurs de la fonction avec un pas de 5 000 m 1
2) Tracer la courbe représentative de la fonction.
On prendra comme unités
graphiques 1 cm pour 5 000 m suivant x, et 1 cm pour 250 m suivant y.

2,5
3) Le missile survole une tente située à une distance horizontale de
16 000 m.
A quelle altitude se trouve-t-il alors ?
1
4) On désire connaître le trajet du missile au-dessus du niveau de l eau :
a) Tracer ce trajet par un trait bleu sur le graphique 1
b) Déterminer graphiquement les valeurs de la distance horizontale pour
lesquelles le missile est strictement au-dessus du niveau de l eau.
Donner
une valeur estimée des solutions sous forme d intervalle
1
1
c) Quelle inéquation faut-il résoudre si on veut connaître les valeurs de la
distance horizontale pour lesquelles le missile est strictement au-dessus du
niveau de l eau ?
1
d) Montrer que pour toutes les valeurs de x :
h(x) = -5.
10-6
(x – 12 000) (x – 38 000)
2
e) Déterminer le tableau de signes de la fonction h, pour x[0 ; 50 000] 2
f) En déduire la solution exacte de l inéquation du c) 1,5
Exercice 2
f est la fonction définie par f (x) =
1
x
sur ]0, +[
1) Donner le tableau de variations de f sur ]0, +[ 1
2) Comparer en justifiant correctement vos résultats f(4,125) et f(4,115).

Attention ! Il ne s agit pas ici de donner des valeurs approchées !
2
Exercice 3
1) Déterminer l ensemble des valeurs de x telles que |x + 2| = 3 1,5
2) Déterminer l ensemble des valeurs de x telles que |x - 7|  5 1,5
3) Existe-t-il des valeurs de x répondant aux deux conditions ci-dessus ? 1
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Comparaison du cosinus et du sinus de certains angles. Voici, pour chacune des figures suivantes, un cercle trigonométrique dans un repère orthonormé (O;  i ;  j ). Propriété: Pour tout réel x, on a...   [More]

Comparaison du cosinus et du sinus de certains angles.

Voici, pour chacune des figures suivantes, un cercle trigonométrique dans un repère orthonormé (O;

i ;

j ).

Propriété: Pour tout réel x, on a
{cos (-x) = 
sin (-x) = 

cos (-x) =
sin (-x) = 

cos (+x) =
sin(+x) =
Exercice: Trouver les valeurs exactes, sans utiliser une calculatrice, de
cos
4
3
= sin (
6
) = sin
5
6
= sin
7
6
=
cos
13
6
= sin (
3
) = sin
5
4
= cos
5
6
=
cos (
6
) = cos (2
3
) = sin
11
6
= cos
81
4
=
sin
4
3
= cos
71
3
= cos
29
6
= sin
9
6
=
sin
83
4
= cos
50
4
= cos (29
4
) = sin
40
3
=
O
-x
x
cox x
-sin x
sin x
-cos x O
x
-x
cos x
sin x
-cos x
O
x
-sin x
+x
cos x
sin x
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DEVOIR SURVEILLE N° Sujet A Donné le NOM : Prénom : Classe : Note la plus basse : Note la plus élevée : Moyenne de la classe : Note de l’élève : La présentation de la copie sera la même que pour un...   [More]

DEVOIR SURVEILLE N° Sujet A
Donné le
NOM :
Prénom :
Classe :
Note la plus basse :
Note la plus élevée :
Moyenne de la classe :
Note de l’élève :
La présentation de la copie sera la même que pour un devoir maison.

Exercice 1 :
Tracer la représentation graphique de la fonction définie par f (x) =
x
5
– 3 dans un plan muni d’un repère orthonormal .

Critères de réussite : courbe précise et soignée, repère correct.

Exercice 2 :
1.
Associer à chaque fonction sa représentation graphique :
f (x) = x²
g (x) = 0,5x + 4
h (x) = 1
3
x + 4
i (x) = – 0,5x + 4
j ( x ) = 3x + 4
2.
Déterminer l’expression de la fonction affine associée à la
courbe restante.

Critères de réussite : associations correctes, raisonnement détaillé pour la
détermination de l’expression de la fonction.

Exercice 3 :
Soit f une fonction affine telle que f ( 2 ) = – 1 et f ( 5 ) = 8.

Sans déterminer l’expression de la fonction f , calculer f ( 3 ) .

Critères de réussite : raisonnement permettant d’aboutir au résultat, sans déterminer f, correct et détaillé, résultat correct.
.

Exercice 4 :
Soit f une fonction affine telle que f ( 3 ) = 2 et f ( – 1 ) = 5.

Déterminer l’expression de la fonction f .

Critères de réussite : raisonnement permettant d’aboutir à l’expression de f correct et détaillé, expression de f correcte.

Exercice n° 5 :
Résoudre les équations suivantes :
a.
| x – 3 | = 2 b.
| x + 5 |  4 c.
| x – 2 | = – 1 d.
| x – 3 |  2
Critères de réussite : étapes de calcul détaillées, résultats donnés sous forme d’intervalles quand cela est possible.

Exercice n° 6 :
ABCD est un rectangle de côté AB = 4 cm et BC = 3 cm.
M est un point libre du segment
[AB].
(MN) est parallèle à (AC) et (MP) est parallèle à (BD).
On pose AM = x.

1.
Dans quel intervalle varie le nombre x ?
2.
a ) Déterminer BM, BN et MN en fonction de x.

b ) En déduire le périmètre du triangle MNB en fonction de x.

c ) Pour quelle valeur de x ce périmètre est-il égal aux 2
3
de celui du triangle ABC ?
3.
Démontrer que le périmètre du pentagone DCNMP est constant, c’est à dire ne
dépend pas de x.

Critères de réussite : définitions et théorèmes utiles cités correctement, hypothèses des théorèmes vérifiées, raisonnement cohérent, correct et détaillé,
résultats justes.

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Aide individualisée Exercice 1 Dans une région, lorsqu’il y a une multitude de lièvres, les renards sont bien nourris, et leur population augmente. Lorsque les renards sont devenus nombreux, ils mangent trop...   [More]

Aide individualisée
Exercice 1
Dans une région, lorsqu’il y a une multitude de lièvres, les renards sont bien
nourris, et leur population augmente.
Lorsque les renards sont devenus nombreux,
ils mangent trop de lièvres, et la population de lièvres est rapidement décimée.
On
a établi que, sur une période allant de x = 0 à x = 20 ans, la population de lièvres
est donnée par : f(x) = -10 x² + 200 x + 100
1) Donner un tableau de valeurs de la fonction, pour x[0 ; 20], avec
un pas de 2
5 minutes
2) A l’aide de la calculatrice, tracer rapidement mais proprement la
courbe représentative de la fonction.
Echelle suivant x : 1 cm = 2 ;
suivant y : 1 cm = 100
8 minutes
3) Montrer que pour tout x de [0 ; 20] f(x) = -10 (x – 10)² + 1100 7 minutes
4) A l’année 4, combien trouve-t-on de lièvres ? 2 minutes
5a) A l’aide de la courbe tracée, donnez une valeur approchée de
l’époque où on trouve 700 lièvres.

4 minutes
5b) Quelle équation faut-il résoudre pour répondre à la question 5 a) ? 2 minutes
5c) En utilisant la formule de la question 3), résoudre algébriquement
cette équation
7 minutes
6a) A quelles périodes trouve-t-on strictement entre 800 et 1200
lièvres ? On représentera les réponses sur le graphique (sur l’axe des x)
5 minutes
6b) Donner une valeur approchée de la solution de la question 6 a) sous
forme d’intervalle
5 minutes
6c) Quelle inéquation faut-il résoudre pour répondre à la question 6a) ? 2 minutes
Exercice 2
1) Traduire sous forme d’équation ou d’inéquation :
La distance de x à (-3) est égale à 5
La distance de x à 6 est strictement supérieure à 5
2 minutes
2) Résoudre ces équations / inéquations 4 minutes
3) Existe-t-il des solutions répondant aux deux conditions ci-dessus ? 2 minutes
Exercice 3
1) Donner le tableau de signes des fonctions :
f(x) = 2 x + 3 ; g(x) = -3 x + 5 ; h(x) = -5
i(x) = -5 (2 x + 3)(-3 x + 5) ; j(x) =
2 x + 3
-3 x + 5
15
minutes
2) Résoudre l’inéquation i(x) > 0 3 minutes
3) Résoudre l’inéquation h(x)  0 2 minutes
Aide individualisée
Exercice 1
Dans une région, lorsqu’il y a une multitude de lièvres, les renards sont bien
nourris, et leur population augmente.
Lorsque les renards sont devenus nombreux,
ils mangent trop de lièvres, et la population de lièvres est rapidement décimée.
On
a établi que, sur une période allant de x = 0 à x = 20 ans, la population de lièvres
est donnée par : f(x) = -10 x² + 200 x + 100
1) Donner un tableau de valeurs de la fonction, pour x[0 ; 20], avec
un pas de 2
5 minutes
2) A l’aide de la calculatrice, tracer rapidement mais proprement la
courbe représentative de la fonction.
Echelle suivant x : 1 cm = 2 ;
suivant y : 1 cm = 100
8 minutes
3) Montrer que pour tout x de [0 ; 20] f(x) = -10 (x – 10)² + 1100 7 minutes
4) A l’année 4, combien trouve-t-on de lièvres ? 2 minutes
5a) A l’aide de la courbe tracée, donnez une valeur approchée de
l’époque où on trouve 700 lièvres.

4 minutes
5b) Quelle équation faut-il résoudre pour répondre à la question 5 a) ? 2 minutes
5c) En utilisant la formule de la question 3), résoudre algébriquement
cette équation
7 minutes
6a) A quelles périodes trouve-t-on strictement entre 800 et 1200
lièvres ? On représentera les réponses sur le graphique (sur l’axe des x)
5 minutes
6b) Donner une valeur approchée de la solution de la question 6 a) sous
forme d’intervalle
5 minutes
6c) Quelle inéquation faut-il résoudre pour répondre à la question 6a) ? 2 minutes
Exercice 2
1) Traduire sous forme d’équation ou d’inéquation :
La distance de x à (-3) est égale à 5
La distance de x à 6 est strictement supérieure à 5
2 minutes
2) Résoudre ces équations / inéquations 4 minutes
3) Existe-t-il des solutions répondant aux deux conditions ci-dessus ? 2 minutes
Exercice 3
1) Donner le tableau de signes des fonctions :
f(x) = 2 x + 3 ; g(x) = -3 x + 5 ; h(x) = -5
i(x) = -5 (2 x + 3)(-3 x + 5) ; j(x) =
2 x + 3
-3 x + 5
15
minutes
2) Résoudre l’inéquation i(x) > 0 3 minutes
3) Résoudre l’inéquation h(x)  0 2 minutes
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Exemple : On veut tracer la représentation graphique de la fonction affine f : x  - 0,5x + 2. On choisit deux valeurs de x au hasard et on calcule leurs images par la fonction affine f. on a f( -2 )...   [More]

Exemple : On veut tracer la représentation graphique de la
fonction affine f : x  - 0,5x + 2.

On choisit deux valeurs de x au hasard et on calcule leurs
images par la fonction affine f.

on a f( -2 ) = -0,5  + 2 = + 2 =
on a f( 1 ) = -0,5  + 2 = + 2 =
La représentation graphique de f est la droite qui passe par
les points :
A ( -2 ; ) et B ( 1 ; )
D’où la représentation graphique :
Cas particulier : les fonctions linéaires
On veut tracer la représentation graphique de la fonction
linéaire f de coefficient 1,5.

On choisit une valeur de x au hasard et on calcule son image
par la fonction linéaire f.

On a f( -2 ) = 1,5  =
On place le point de coordonnées
( -2 ; ) et on trace la droite (d) qui
passe par ce point et le point O origine
du repère.

D’où la représentation graphique :
Exemple : On veut tracer la représentation graphique de la
fonction affine f : x  - 0,5x + 2.

On choisit deux valeurs de x au hasard et on calcule leurs
images par la fonction affine f.

on a f( -2 ) = -0,5  + 2 = + 2 =
on a f( 1 ) = -0,5  + 2 = + 2 =
La représentation graphique de f est la droite qui passe par
les points :
A ( -2 ; ) et B ( 1 ; )
D’où la représentation graphique :
Cas particulier : les fonctions linéaires
On veut tracer la représentation graphique de la fonction
linéaire f de coefficient 1,5.

On choisit une valeur de x au hasard et on calcule son image
par la fonction linéaire f.

On a f( -2 ) = 1,5  =
On place le point de coordonnées
( -2 ; ) et on trace la droite (d) qui
passe par ce point et le point O origine
du repère.

D’où la représentation graphique :
  [Less]

2nde fonctions et radians Devoir surveillé n° I 1) Recopier et compléter le tableau de correspondance entre degrés et radians : Mesure en degrés 30 135 60 Mesure en radians  2  4  2) Placer sur le...   [More]

2nde
fonctions et radians
Devoir surveillé n°
I
1) Recopier et compléter le tableau de correspondance entre degrés et radians :
Mesure en
degrés
30 135 60
Mesure en
radians 
2

4

2) Placer sur le cercle trigonométrique les points associés aux valeurs
suivantes :
5
, , , , et 3 .

2 4 6 3 6
    

 
II
La figure représente un terrain herbeux carré de 4 m de côté.
A l’intérieur, on construit
une piscine circulaire de rayon R.
Soit S la surface de la partie herbeuse visible.

1) Exprimer la surface S en fonction de R.

Donner la valeur de R pour que la surface S soit minimale.
Donner la valeur minimale
de S.

2) Pour quelle valeur du rayon R l’aire de la piscine est-elle égale à l’aire de la partie
herbeuse ?
III
1) Donner la définition d’une fonction croissante sur un intervalle I.

2) On considère les fonctions f et g.
Ces fonctions sont croissantes sur l’intervalle I.

Montrer que la fonction h : ( ) ( )x f x g x est croissante sur l’intervalle I.

3) En déduire que la fonction 2
2 1 x x x est croissante sur [0 ; + ∞[.

4 m
  [Less]

DEVOIR A LA MAISON DE MATHEMATIQUES n°…. à rendre le …………. . Exercice 1 1. Vérifier que -9x2 -6x+24 = 25-(1+3x)2 2. Résoudre l’inéquation -9x2 -6x+24 7x+2  0 . Exercice 2 Exercice 3 Dans...   [More]

DEVOIR A LA MAISON DE MATHEMATIQUES n°….
à rendre le ………….
.

Exercice 1
1.
Vérifier que -9x2
-6x+24 = 25-(1+3x)2
2.
Résoudre l’inéquation -9x2
-6x+24
7x+2
 0 .

Exercice 2
Exercice 3
Dans un tétraèdre ABCD , M est le milieu de [ AD ] et N celui de [ CD ] .

On note G le centre de gravité du triangle ACD .

1.
Faire une figure .

2.
Pour quoi le point G appartient-il aux deux plans (BCM ) et (BAN) ?
3.
Trouvez l’intersection des plans (BCM) et (BAN) .

On a tracé ci-contre la courbe représentant la
fonction définie sur [-0.
25 ;4.
25] par f (x) = - x2
+ 4x .

1.
a) Résoudre graphiquement l’inéquation f (x)  3.

On justifiera en faisant référence à la
représentation graphique (en faisant une
construction par exemple) .

b) Montrer que f (x)  3 équivaut à (x-1)(x-3) 0.

Utiliser ce résultat pour résoudre
algébriquement l’inéquation f(x)  3.

2.
a) Résoudre l’équation - x2
+ 4x = x2
.

b) Sans le faire , comment peut-on
graphiquement résoudre l’équation du 2.
a) ?
3.
Dresser le tableau de variations de f sur [ 0 ; 4] .

4.
Parmi les rectangles de périmètre 8 (l’unité de
longueur est l’hectomètre) , on se propose de
déterminer celui d’aire maximale.

a) Justifier que si une des dimensions du
rectangle est notée x alors l’autre est 4-x et
l’aire est f (x) .

b) Utiliser le tableau de variations de f pour
donner les dimensions en mètres du
rectangle d’aire maximale .
Quelle est alors
l’aire maximale en m2
?
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Aide individualisée sur les fonctions affines et linéaires Exercice n° 1 : Dans le repère ( O, I, J ), on a tracé la droite d. Sur cette droite, choisir trois points E, F et G dont les coordonnées sont...   [More]

Aide individualisée sur les fonctions affines et linéaires
Exercice n° 1 :
Dans le repère ( O, I, J ), on a tracé la droite d.
Sur cette droite, choisir trois points
E, F et G dont les coordonnées sont entières.
Calculer de trois manières différentes
le coefficient directeur de d.

Exercice n° 2 :
Observer le faisceau de droites ci–dessous et remplir le tableau en associant à
chaque droite son coefficient directeur.
Il manque deux droites ; les tracer.

Exercice n° 3 :
a ) Dans un repère orthonormé, on veut tracer la droite d1 de coefficient directeur 2
3
passant par le point A (1;1).

- Placer le point A et trouver un point B tel que : la variation de x entre A et B soit 3
la variation de y entre A et B soit 2
- Tracer maintenant la droite d1.

b ) Dans ce même repère on veut tracer d2 de coefficient directeur 3 passant par F (3;2).

- Compléter : 3 = 3
…
- Il faut donc trouver le point G tel que : la variation de x entre F et G soit ……
la variation de y entre …… et …… soit ……
- Placer le point G et tracer d2.

c ) Tracer de même la droite d3 de coefficient directeur 3
2
passant par K (-1 ; -2) puis la droite d4 passant par L (3 ; -1) de
coefficient directeur – 3.

Exercice n° 4 :
D est la droite de coefficient directeur – 1
3
passant par A (3;5).
On note f la fonction affine qui lui est associée.

L’expression de f est de la forme f(x) = ……….

On sait que la pente de D est ………… donc f(x) = …………
Le point A appartient à la droite D donc f(3) = ………
Donc b = …………
Donc f(x) = …………
  [Less]

Devoir surveillé de rattrapage (DS n°…. ) Exercice 1 La figure ci-dessous représente la coupe verticale de la toiture d une maison, dans laquelle on veut construire une pièce de section rectangulaire IJKL...   [More]

Devoir surveillé de rattrapage (DS n°….
)
Exercice 1
La figure ci-dessous représente la coupe verticale de la toiture d une maison, dans
laquelle on veut construire une pièce de section rectangulaire IJKL dont l aire soit
la plus grande possible.
On a mesuré les distances en mètres : AH = 5 ; BC = 8, et
on pose IJ = h, et IH = x
1)a) En considérant le triangle ABH, calculer h en fonction de x 2
b) Démontrer que l aire du rectangle IJKL est donnée en fonction de x par la
fonction A, définie sur [0 ; 4] par : A(x) = 5
2
x² + 10 x
1
2)a) Tracer un tableau de valeurs de la fonction A, pour x variant de 0 à 4, et
avec un pas de 0,5
1
b) Tracer la courbe représentative de la fonction A, pour x[0 ; 4].
On
prendra comme unités 1 cm pour 2 m suivant x, 1 cm pour 1 m² suivant y
2,5
3 a) En lisant le graphique, pour quelles valeurs de la longueur IH l aire de
IJKL est-elle égale à 5 m² ?
1
b) En utilisant les fonctions TRACE et ZOOM de la calculatrice, on
donnera une valeur approchée de la solution du a) la plus faible, à 10-2
près
2
c) Pour quelles valeurs de la longueur IH l aire de IJKL est-elle strictement
comprise entre 5 et 15 m² ? On donnera la réponse sous forme d intervalle
1,5
4)a) Quelle équation faut-il résoudre pour savoir pour quelle(s) position(s)
du point I l aire de IJKL est nulle ?
1
b) Démontrer que pour tout nombre réel appartenant à [0 ; 4],
A(x) = 5
2
x (x – 4)
1,5
c) En utilisant le b), résoudre l équation du a) 1,5
d) Pourquoi les solutions trouvées au c) sont-elles logiques ? 1
Exercice 2
1) Traduire sous forme d’équation ou d’inéquation :
La distance de x à (-1) est égale à 7
La distance de x à 5 est strictement supérieure à 1
2
2) Résoudre ces équations / inéquations 2
3) Existe-t-il des solutions répondant aux deux conditions ci-dessus ? 1
B C
A
I
J K
LH
  [Less]

Devoir Maison n°…. 2 nde …. . Donné le …. . / …. / …… A rendre pour le …. . / …. / …. . En plus des critères de réussite précisés, la notation prendra en compte : - La correction du...   [More]

Devoir Maison n°….
2
nde
….
.

Donné le ….
.
/ ….
/ …… A rendre pour le ….
.
/ ….
/ ….
.

En plus des critères de réussite précisés, la notation prendra en compte :
- La correction du vocabulaire utilisé.

- La qualité de présentation.

- La qualité de rédaction : rédigez vos solutions de façon à ce que quelqu’un qui n’aurait pas lu l’énoncé puisse le reconstituer à partir de ce
que vous avez écrit.

Exercice :
Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB = 3 et AC = 12.
E est un point du segment [AB].
On pose EB = x.

La parallèle à la droite (AC) passant par E coupe la droite (BC) en F.

La parallèle à la droite (AB) passant par f coupe la droite (AC) en G.

On admet que le quadrilatère AEFG obtenu est un rectangle.

Partie I :
a ) En utilisant le théorème de Thalès deux fois, montrer que
BE
BA
=
AG
AC
.
En déduire que AG = 4x.

b ) Montrer que l’aire du rectangle AEFG exprimée en fonction de x est 12x – 4x².

Partie II :
On considère la fonction A définie par A(x) = 12x – 4x² et dont le domaine de définition est [0;3].

1.
a ) Déterminer le(s) antécédents de 0 sur [0;3].

b ) A l’aide de la calculatrice, compléter le tableau de valeurs suivant :
x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
A(x)
c ) Détailler le calcul fait à la main pour calculer l’image de 2 par f.

2.
a ) Vérifier que pour tout x de l’intervalle [0;3] on a A(x) = -(2x – 3)² + 9.

b ) Soit u et v deux éléments de [0;3].
Montrer que A(v) – A(u) = (v – u)(12 – 4u – 4v).

c ) En déduire le sens de variation de A sur [0;3
2
] puis sur [3
2
;3].

3.
Montrer par une méthode calculatoire que 9 est le maximum de f sur [0;3].
Quelle est la valeur de x correspondante ?
4.
Tracer le tableau de variations de f.

5.
Tracer la courbe représentative de la fonction A sur [0;3] dans un repère orthonormé ( unité graphique : 1cm ).

Partie III :
1.
Quelle est la position du point E sur le segment [AB] pour laquelle l’aire du rectangle AEFG est maximale ?
2.
Déduire de la question 1.
de la partie I la valeur de x pour laquelle le rectangle AEFG est un carré.
Déterminer alors
l’aire de AEFG.

Critères de réussite : Résultats justes, hypothèses du théorème de Thalès vérifiées, méthodes de calculs détaillées, représentation
graphique soignée et respect des unités graphiques, justification de la réponse à la question de la partie III.

A B
C
E
FG
  [Less]

Aide individualisée sur les fonctions affines et linéaires Exercice n° 1 : Soit f la fonction affine représentée ci-dessous. 1. Lire sur le graphique l’image de 3, celle de 1. 2. Lire sur le graphique...   [More]

Aide individualisée sur les fonctions affines et linéaires
Exercice n° 1 :
Soit f la fonction affine représentée ci-dessous.

1.
Lire sur le graphique l’image de 3, celle de 1.

2.
Lire sur le graphique les nombres ayant pour image
3 et 0.

Exercice n° 2 :
Soit g la fonction affine définie par g(x) = – 2x + 3.

1.
Déterminer l’image de 3 et de – 5 par g.

2.
Déterminer un antécédent de 7.

Exercice n° 3 :
1.
Parmi les fonctions suivantes, déterminer celles qui sont affines, justifier votre réponse :
a ) x 
7
2
( x + 4 ) b ) x 
5
4
x c ) x  2 –
2
x
d ) x 
5 – x
7
e ) x  – 7
f ) x  5x – 2( x – 5 ) g ) x  x ( x – 3 ) h ) x  x i ) x  x 2 + x – 1 j ) x  ( x – 1 ) ²
k ) x  ( x – 1 ) ² – x² l ) x  3 – 7 x m ) x  2 n ) x  ( 3 – 7 ) x
2.
Lorsque les fonctions sont affines, déterminer le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine.

3.
Lorsque les fonctions sont affines, déterminer le sens de variation de la fonction, justifier votre
réponse.

Exercice n° 4 :
Parmi les courbes ci – dessous , indiquer celles qui
représentent une fonction affine.

Dans le cas où la fonction est affine, lire le
coefficient directeur de la droite et préciser si la
fonction est linéaire ou constante.

Exercice n° 5 :
a ) Que peut – on dire du taux de variation d’une fonction affine ?
b ) Que peut – on dire d’une fonction si son taux de variation est constant ?
Exercice n° 6 :
Par lecture graphique, déterminer le coefficient
directeur de chacune des droites ci – dessous.
En
déduire l’expression des fonctions affines f, g, h
et l dont les représentations graphiques sont
données ci – contre.

  [Less]

Exercices sur les fonctions affines Exercice n° 1 : Parmi les fonctions suivantes, déterminer celles qui sont affines : a. x  3x + 1 b. x  x – 5 c. x  5x d. x...   [More]

Exercices sur les fonctions affines
Exercice n° 1 :
Parmi les fonctions suivantes, déterminer celles qui sont affines :
a.
x  3x + 1 b.
x  x – 5 c.
x  5x d.
x  1 – 3x
e.
x  – 2x + 3 f.
g.
x  x² + 7 h.
x  3
i.
x  x 3 – 1 j.
x  x( x + 4 ) – x² + 2 k.
x  x( x – 5 ) l.
x  5( x – 3 ) + 3 – 2x
Exercice n ° 2 :
Parmi les fonctions suivantes, déterminer celles qui sont croissantes et celles qui sont décroissantes sur IR :
a.
x  3x + 2 b.
x  – 3 + 4x c.
x  – 2x + 5 d.
x  – x – 7
e.
x 
3 + 2x
5
f.
x  x² + 1 g.
x  – 3 h.
x  – 5x
i.
x  ( 8 – 3 )x j.
x  8 – 3 x k.
x  7 + (  – 3 )x l.
x  ( 2 – 2 )x – 5
Exercice n° 3 :
1.
Repérer les droites dont les coefficients directeurs sont positifs, en les
repassant en vert et celles dont les coefficients directeurs sont négatifs, en les
repassant en rouge.

2.
Déterminer les coefficients directeurs de chaque droite.

Exercice n ° 4 :
Par lecture graphique, déterminer les expressions des fonctions affines dont les
courbes représentatives sont données ci – contre.

Exercice n° 5 :
Sur un même graphique, dans un repère orthonormal, tracer les représentations graphiques des fonctions affines f, g, h et k
de coefficients respectifs :
3
4
, – 2 ,
1
2
et –
3
7
, en sachant que l’image de 5 est toujours 2.

Exercice n° 6 :
a ) On sait que f ( 1 ) = 5 et que f ( 3 ) = 2 , déterminer l’expression de f.

b ) On sait que f ( – 2 ) = 1 et que f ( 6 ) = 5 , déterminer l’expression de f.

c ) On sait que l’image de – 3 par f est – 1 et que l’image de 5 par f est 8 , déterminer l’expression de f.

d ) Déterminer l’expression de la fonction f dont la représentation graphique Cf passe par les points A (
3
2
; –
1
8
) et B (
1
3
;
3
4
).

Exercice n° 7 :
a ) On sait que f ( 1 ) = 4 et que f ( 3 ) = 8 , déterminer f ( 5 ).

b ) On sait que f ( - 1 ) = 3 et que f ( 4 ) = - 2 , déterminer f ( 7).

c ) On sait que l’image de 2 par f est 1 et que l’image de 5 par f est 7, déterminer l’image de – 2 par f.

d ) Déterminer l’image de 5 par f sachant que la représentation graphique de f passe par les points A ( 1 ; – 3 ) et B ( 5 ; 2 ).

O

i

j
  [Less]

Devoir de mathématiques n°…… Pour …………………. Exercice n°1: 1) Etudier les variations (sur le même modèle que pour la fonction 1 x , faite en classe) des fonctions suivantes: (cad, le domaine...   [More]

Devoir de mathématiques n°…… Pour ………………….

Exercice n°1:
1) Etudier les variations (sur le même modèle que pour la fonction
1
x
, faite en classe) des fonctions suivantes:
(cad, le domaine de définition, la parité, si nécessaire, le sens de variation, le tableau de variation et
minimum/maximum, s’il y en a)
2) Faire un tableau de valeur pour chacune des fonctions suivantes et tracer leur représentation graphique en prenant bien
soin de se placer dans un repère (O ;

i ;

j ) orthonormé.

Les fonctions sont définies par : f(x) = x² (on étudiera sur ]- ;0] et [0 ;+[)
g(x) = x³ indication : u³-v³ = (u-v)(u²+uv+v²)
h(x) = x²-8x+12 (on étudiera sur ]- ;4] et [4 ;+[)
Exercice n°2:
Résoudre les systèmes de deux équations à deux inconnues suivants :
{ 3x-5y=1
-2x+3y=-1 {6x-3y=-3
x+2y=7
Correction
Etude de la fonction f: x x² :
Ensemble de définition:
Tout réel admet un carré, donc la fonction définie par f(x)=x² est définie sur .
(ie Df =)
Parité:
pour tout réel x de , -x et pour tout réel x de , f(-x)=(-x)²=x²= f(x)
Donc la fonction f est paire et sa courbe représentative P est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Il suffit donc de connaître sa courbe représentative sur l’intervalle [0 ;+ [ pour en déduire sa représentation
graphique sur tout .

Sens de variation:
Quels que soit les réels u et v tel que u<v, on a
f(u)- f(v)=u²-v²=(u-v)(u+v)
1er
cas : u et v appartiennent à + (ie cas où 0uv)
u+v0 car u et v positifs
u – v0 car uv donc (u-v)(u+v)0
d’ou f(u)- f(v)0 ie f(u) f(v)
f est donc strictement croissante sur +=[0;+ [
2d cas : u et v appartiennent à - (ie cas où uv0)
u+v0 car u et v négatifs
u – v0 car uv donc (u-v)(u+v)0
d’ou f(u)- f(v)0 ie f(u) f(v)
f est donc strictement décroissante sur -=]-;0]
Tableau de variation:
f(0)=0²=0
Minimum:
La fonction f est décroissante sur ]-;0] avec f(0)=0 donc sur ]-;0] f(x) f(0)
La fonction f est croissante sur [0;+ [ avec f(0)=0 donc sur [0;+ [ f(x) f(0)
On conclut donc que la fonction f admet donc 0 comme minimum et que ce minimum est atteint pour x=0
x
f
- 0
0
+
  [Less]

1 AIDE INDIVISUALISEE Fonctions carré et inverse : jeu de piste Exercice 1 : Déterminer, dans chaque cas, l’image de l’intervalle I par la fonction carré : I = ] –2 ; 5] I = [ 2 ; +  [ Exercice 2 : En...   [More]

1
AIDE INDIVISUALISEE
Fonctions carré et inverse : jeu de piste
Exercice 1 :
Déterminer, dans chaque cas, l’image de l’intervalle I par la fonction carré :
I = ] –2 ; 5] I = [ 2 ; +  [
Exercice 2 :
En utilisant le sens de variation de la fonction carré, déduire des encadrements sur x, ceux que
vérifie x2
: -4  x  -3 2  x  7
Exercice 3 :
En utilisant le sens de variation de la fonction carré, déduire des inégalités sur x, celles que
vérifie x2
: x  2 x  -3
Exercice 4 :
Déterminer l’image de l’intervalle [ -3 ; -1 [ par la fonction inverse.

Exercice 5 :
En utilisant le sens de variation de la fonction inverse, déduire de l’encadrement sur x, celui
que vérifie
1
x
: 2  x  3
Exercice 6 :
Déterminer l’image de l’intervalle [1; +  [ par la fonction inverse.

Exercice 7 :
Compléter en justifiant :
Si x  -3 , alors :


 x  -3
et x .
.
.
.
.
0
Donc :


 1
x
…
et
1
x
….
.
0
Donc : si x  -3, alors ….

1
x
 ….

Exercice 8 :
Résoudre graphiquement l’équation :
1
x
= x2
Exercice 9 :
Tracer dans un repère orthonormé la courbe représentative de la fonction carré.

Tracer la droite d’équation y = 3
Résoudre graphiquement l’équation x2
= 3.

  [Less]

Test sur les fonctions affines Nom et Prénom : 1. Tracer la courbe représentative de la fonction f(x) = 3x + 1. Expliquer la méthode : 2. Déterminer l’équation réduite de la droite D. Expliquer la...   [More]

Test sur les fonctions affines Nom et Prénom :
1.
Tracer la courbe représentative de la fonction f(x) = 3x + 1.

Expliquer la méthode :
2.
Déterminer l’équation réduite de la droite D.

Expliquer la démarche suivie.

3.
Déterminer l’expression de la fonction affine f telle que f (1) = 3 et f (3 ) = 5 .
Justifier votre réponse .

4.
Soit g la fonction affine telle que g(1) = 3 et g(4) = 2 .
Sans déterminer l’expression de la fonction g, calculer g(2) .

5.
La fonction h définie sur IR par h(x) = 3 ( x + 1 ) – x + 2 est – elle une fonction affine ? Justifier votre réponse.

6.
On considère les représentations graphiques ci-contre.

a ) Déterminer celles qui sont associées à des fonctions affines.

b ) On considère la fonction f définie sur IR par f(x) = 2 x + 2 et la fonction g
définie sur IR par g(x) = – x + 2.

Retrouver à quelle fonction, f ou g, correspond C1.
Justifier votre
réponse.

Faire de même pour C2.

O 
i

j
O 
i

j
O 
i

j
  [Less]

Devoir à la maison n°…. . La parabole C d équation y = 2 – 0,5 x² est représentée ci-dessus. 1. Calculer les coordonnées des points d intersection de C avec l axe (Ox). 2. Pour tout x de [0 ; 2],...   [More]

Devoir à la maison n°….
.

La parabole C d équation y = 2 – 0,5 x² est représentée ci-dessus.

1.
Calculer les coordonnées des points d intersection de C avec l axe (Ox).

2.
Pour tout x de [0 ; 2], on construit, comme ci-dessus, les points M, P, Q, N, où
M a pour coordonnées (x, 0), P et Q appartiennent à la parabole C, et MPQN est un
rectangle.

Déterminer les coordonnées des points P, Q et N en fonction de x, et en déduire
l aire A(x) du rectangle MPQN en fonction de x
3.
Résolution de l équation A(x) = 2
On se propose de résoudre graphiquement cette équation, de deux manières :
a) Dresser un tableau de valeurs de A(x) pour les valeurs de 0 à 2, avec un pas de
0,2.
Donner alors une allure plausible de la courbe représentative  de la fonction
A, et résoudre graphiquement le problème.

b) Expliquer pourquoi on peut aussi résoudre l équation en représentant
graphiquement les fonctions x  x³ et x  4 x – 2 sur un même dessin.

4.
Détermination du maximum de A(x)
Montrer que A(x) admet un maximum sur [0 ; 2], de trois manières :
a) graphiquement, à l aide de la courbe .
Donner une approximation de la valeur
de l aire maximale à 0,1 près.

b) grâce aux touches "TRACE" et "ZOOM" de la calculatrice.
Déterminer avec une
précision de 10-3
la valeur de x pour laquelle le maximum est atteint, ainsi que la
valeur de l aire maximale.

c) algébriquement, en établissant l égalité : A(x) =
2
3
2
x
3
4
x33
16












 .

Grâce à un tableau de signes, montrer que le deuxième terme de A(x) est négatif
pour x[0 ; 2], et s annule en une valeur de x à déterminer.
En déduire alors les
dimensions du rectangle d aire maximale.

Devoir à la maison n°….
.

La parabole C d équation y = 2 – 0,5 x² est représentée ci-dessus.

1.
Calculer les coordonnées des points d intersection de C avec l axe (Ox).

2.
Pour tout x de [0 ; 2], on construit, comme ci-dessus, les points M, P, Q, N, où
M a pour coordonnées (x, 0), P et Q appartiennent à la parabole C, et MPQN est un
rectangle.

Déterminer les coordonnées des points P, Q et N en fonction de x, et en déduire
l aire A(x) du rectangle MPQN en fonction de x
3.
Résolution de l équation A(x) = 2
On se propose de résoudre graphiquement cette équation, de deux manières :
a) Dresser un tableau de valeurs de A(x) pour les valeurs de 0 à 2, avec un pas de
0,2.
Donner alors une allure plausible de la courbe représentative  de la fonction
A, et résoudre graphiquement le problème.

b) Expliquer pourquoi on peut aussi résoudre l équation en représentant
graphiquement les fonctions x  x³ et x  4 x – 2 sur un même dessin.

4.
Détermination du maximum de A(x)
Montrer que A(x) admet un maximum sur [0 ; 2], de trois manières :
a) graphiquement, à l aide de la courbe .
Donner une approximation de la valeur
de l aire maximale à 0,1 près.

b) grâce aux touches "TRACE" et "ZOOM" de la calculatrice.
Déterminer avec une
précision de 10-3
la valeur de x pour laquelle le maximum est atteint, ainsi que la
valeur de l aire maximale.

c) algébriquement, en établissant l égalité : A(x) =
2
3
2
x
3
4
x33
16












 .

Grâce à un tableau de signes, montrer que le deuxième terme de A(x) est négatif
pour x[0 ; 2], et s annule en une valeur de x à déterminer.
En déduire alors les
dimensions du rectangle d aire maximale.

0
1
2
-2 -1 0 1 2
C
y = 2 – 0,5 x²
P
MN
Q
x
y
0
1
2
-2 -1 0 1 2
C
y = 2 – 0,5 x²
P
MN
Q
x
y
  [Less]

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NON
OUI
NON
NON
NON
NON
NON
NONNON
SOS
OUI
OUI
NON
NON
NON
NONNON
NON
NON
NON
SOS
OUI
SOS
OUI
SOS
OUI
SOS
OUI
SOS
OUI
SOS
OUI
OUI
OUI
OUI
OUI
OUI
OUI
OUI
OUI
OUI
OUI OUI
OUI
OUI OUI
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